К расчету колебательных систем
со сложным резонансом

	Сергей Борисович Каравашкин, руководитель лаборатории Частная Специализированная Лаборатория Фундаментальных исследований ( sb30-1.zip)
	Ольга Николаевна Каравашкина, ассистент Частная Специализированная Лаборатория Фундаментальных исследований ( sb30-1.zip)

На основе точных аналитических решений, полученных для полубесконечной упругой линии с резонансными подсистемами в виде линейной упругой линии с жёстко замкнутыми первым и последним элементами, проведен анализ характера колебательного процесса в линиях данной структуры. Установлено, что между первой граничной частотой для упругой линии в целом и граничной частотой подсистемы возникают резонансные пики, количество которых равно целой части , где n – количество элементов в подсистеме. Данные резонансные пики возникают на границе между апериодическим и комплексным апериодическим режимами колебаний. Причём последний указанный режим является характерным именно для упругих систем с резонансными подсистемами. В простых упругих линиях его появление невозможно. Дано объяснение причины раздвоения резонансных пиков и показано, что возникающий в линиях данного типа эффект отрицательной меры инерции подсистем не противоречит законам сохранения. Тем самым, подтверждены и обоснованы представления по данному вопросу д-ра Скучика.

Получено хорошее качественное совпадение теоретических результатов с экспериментальными результатами, полученными д-ром Скучиком.

Введение

"Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и на сшивании решений для различных частей системы на основе условий непрерывности. Любое незначительное изменение формы системы приводит к необходимости проводить все вычисления заново. Но вне всякой связи с трудностью вычислений следует заметить, что высокая точность классической теории иллюзорна. Материалы никогда не бывают совершенно однородными или изотропными и собственные частоты и распределения колебаний обычно заметно отличаются от того, что дает теория, особенно на высоких частотах" [1, стр.317].

В то же время "многочастотные резонансные системы интересны своими приложениями в аналитической и небесной механике, в гамильтоновой динамике, в теоретической и математической физике" [2, стр.173]. В частности, к таким задачам относятся задача о колебании дискретно-континуальной упругой системы [3], задача о механических колебаниях длинных молекулярных цепочек [1], исследование колебательных уровней молекул [4], колебания в решетках кристаллов [5], [6], [7], исследования в молекулярной акустике [8], в статистической механике квантовых систем [9], задачи оптимального управления [10] и т.д.

Из множества подходов к решению указанных задач можно выделить "такие широко известные методы теории колебаний, как методы теории возмущений, метод усреднения, аналитические методы разделения медленных и быстрых движений и т.д." [10, стр.45]. По каждому из этих методов существует обширная база источников. Чисто матричным методам, в частности, посвящается исследование Тонг Кина [11]; решению путем нахождения рекуррентных соотношений - исследование Кухты и др. [3]; разностным методам – работа Аткинсона [12]; геометрическим методам – Палиса и Димелу [13], качественной теории – Рейссинга и др. [14]. Хороший обзор решений, полученных с использованием асимптотических методов, дан Митропольским и Хомой [15], Черепенниковым [16]. Методы, основанные на теории возмущений, хорошо изложены, в частности, Джакарильей [17] и Диментбергом [18]. Подходы, основанные на представлении упругой модели механическими резонансными контурами, достаточно полно описаны Скучиком [1].

Несмотря на широкий диапазон подходов к исследуемой проблеме, все указанные методы являются качественными, приближенными или численными. "Наличие нерегулярных границ в большинстве практических задач не позволяет построить аналитическое решение дифференциальных уравнений, и численные методы стали единственно возможным средством получения достаточно точных и подробных результатов" [19, стр.12]. "Даже для простейшего случая молекулы водорода Н₂ точный квантово-механический расчет постоянной квазиупругой силы представляет трудоемкую математическую задачу, а для более сложных случаев расчет силовых постоянных при помощи последовательных квантово-механических методов вообще практически невыполним" [4, стр.12]. "Другая трудность, связанная с методом коллективных движений, заключается в том, что он не дает возможности определить природу коллективного движения, исходя из вида гамильтониана. Мы должны угадывать подходящие коллективные переменные, а затем проверять, разделяется ли гамильтониан на коллективную и внутреннюю части" [9, стр.120].

Достаточно полный анализ проблем, возникающих в существующих подходах к исследованию моделей с многими резонансами, проведен Джакарильей [17], Рейссингом [14], Черепенниковым [16]. В частности, "старая проблема остается открытой. До сих пор никакие имеющиеся в нашем распоряжении "современные" методы не дают возможности вычислить действительные частоты нелинейной системы. Для приложений эта проблема остается нерешенной, так как в приближениях рядами, сходящимися или только формальными, может быть вычислено лишь конечное и, вообще говоря, очень небольшое количество членов. Пока нельзя найти способ выражения общего члена и суммы этих рядов" [17, стр.305]. Кроме того, "чтобы обеспечить сходимость ряда, иногда приходится предварительно полагать, что параметры дифференциальных уравнений, определяющие степень нелинейности, обладают достаточно малым модулем. По этой причине косвенный метод часто оказывается применимым только в узкой краевой области нелинейной механики. Другим недостатком этих методов является то, что они позволяют получать достаточно точную информацию об отдельных решениях, но не дают никакого представления о строении семейства решений в целом" [14, стр.12]. Последнее подтверждает и Джакарилья: "Другой проблемой, представляющей большой интерес, является вопрос о лучшем понимании решения "вдали, вблизи и при выполнении резонансных условий". Когда мы в действительности будем иметь процесс захвата в резонанс и какое предпочтительное определение резонанса системы?" [17, стр.309]. "Точные аналитические методы предпочтительны в анализе, однако получение аналитических формул решения даже для сравнительно простых дифференциальных уравнений иногда сопряжено с большими трудностями" [16, стр.10].

В свете указанных недостатков существующих методов, наиболее точная качественная картина процесса представлена Скучиком. Согласно его подходу, "любую однородную систему, монолитную или состоящую из однородных частей и нагрузочных масс, можно строго представить в виде канонической схемы, а именно параллельного соединения бесконечно большого числа последовательно соединенных (механических) контуров, по одному для каждой формы собственных колебаний" [1, стр.317]. Однако, применение Скучиком матричных методов для решения систем дифференциальных уравнений в моделируемых им системах не позволило описать картину процессов в аналитической форме, поскольку, как известно, для сложных упругих систем матричный метод допускает только численные решения. В аналитической же форме анализ картины колебательного процесса в матричной записи практически невозможен. Указанный недостаток, свойственный, кстати, большинству существующих методов, не позволил также Скучику развить введенное им представление на случай многорезонансных упругих подсистем, в которых совокупность резонансных частот подсистемы определяется не набором механических резонансных контуров, а единой многорезонансной механической подсистемой, формирующей весь спектр резонансов подсистемы.

С появлением точных аналитических решений, представленных в работах [20] – [24], появляется возможность преодолеть ряд проблем в методе резонансных контуров и определить точные аналитические решения для некоторых упругих механических систем с многорезонансными подсистемами.

В данном исследовании мы рассмотрим наиболее простой случай полубесконечной однородной одномерной упругой системы с жёстко соединёнными крайними элементами резонансных подсистем. Хотя представленная задача и является частной, тем не менее, она достаточно часто встречается в инженерной практике. В частности, к ней сводятся задачи о колебаниях упруго связанных жёстких блоков, содержащих некоторую подструктуру из элементов, соединённых между собой и с блоком упругими связями. Кроме того, мы будем предполагать, что описанная методика может быть распространена на конечные и неоднородные упругие линии с резонансными подсистемами. Единственно, мы сразу усложним структуру подсистемы, представив ее упругой конечной линией, содержащей n масс, а следовательно, эквивалентной последовательно соединенным n контурам. Опять-таки, мы будем предполагать, что данная методика легко распространяется на случай ряда параллельно включенных подсистем вышеуказанного типа. Тем самым модель по своей общности фактически сведется к исследуемой Скучиком, но при более высоком уровне структурной организации резонансной подсистемы.