"МИС-РТ" - 1999. Сборник №15-8

"Динамическая устойчивость седловых точек"

А.С. Дубровский, В.Г.Широносов (НИЦ "ИКАР", Кафедра БиоМедФизики УдГУ, т.24-77-74, ikar@udm.ru)

Тезисы докладов 4-й Российской Университетско-Академической Научно-практической конференции Ч.7.
Отв.ред. В.А.Журавлев, С.С.Савинский. Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1999, с.24-25.

 

----Продемонстрирована возможность создания атомарной ловушки на седловой точке в неоднородном статическом поле без наложения дополнительных переменных и постоянных полей.

----Нахождение периодических решений динамических систем и исследование их на устойчивость в ряде задач может быть проведено с помощью нахождения критических точек и установления знакоопределённости матрицы вторых производных S-функции [1]. Метод S -функции опубликован в центральной печати и опpобиpован на ряде задач [1, 2].
----Рассмотрим пример использования S-функции для исследования динамической устойчивости частицы на седловой точке в неоднородном статическом поле:
T = ((dX(1)/dt)**2 + (dX(2)/dt)**2)/2.
U = C20*X(1)**2 + C02*X(2)**2 + C40*X(1)**4 + C22*X(1)**2*X(2)**2 + C04*X(2)**4.
T, U – кинетическая, потенциальная энергия.
S-функция рассматриваемой задачи в первом приближением будет иметь вид [1]:

S=( - 3*C04*Y(2,1,2)**4 + ( - 6*C04*Y(2,1,1)**2 - 24*C04*Y(2,0,1)**2 - 3*C22*Y(1,1,2)**2 - C22*Y(1,1,1)**2 - 4*C22*Y(1,0,1)**2 - 4*C02 + 2)*Y(2,1,2)**2 + ( - 4*C22*Y(1,1,1)*Y(1,1,2)*Y(2,1,1) - 16*C22*Y(1,0,1)*Y(1,1,2)*Y(2,0,1))*Y(2,1,2) - 3*C04*Y(2,1,1)**4 + ( - 24*C04*Y(2,0,1)**2 - C22*Y(1,1,2)**2 - 3*C22*Y(1,1,1)**2 - 4*C22*Y(1,0,1)**2 - 4*C02 + 2)*Y(2,1,1)**2 - 16*C22*Y(1,0,1)*Y(1,1,1)*Y(2,0,1)*Y(2,1,1) - 4*Y(2,0,2)**2 - 8*C04*Y(2,0,1)**4 + ( - 4*C22*Y(1,1,2)**2 - 4*C22*Y(1,1,1)**2 - 8*C22*Y(1,0,1)**2 - 8*C02)*Y(2,0,1)**2 - 3*C40*Y(1,1,2)**4 + ( - 6*C40*Y(1,1,1)**2 - 24*C40*Y(1,0,1)**2 - 4*C20 + 2)*Y(1,1,2)**2 - 3*C40*Y(1,1,1)**4 + ( - 24*C40*Y(1,0,1)**2 - 4*C20 + 2)*Y(1,1,1)**2 - 4*Y(1,0,2)**2 - 8*C40*Y(1,0,1)**4 - 8*C20*Y(1,0,1)**2) / (8).

----Рассмотрим частный случай с Y(1,1,1)=Y111, все остальные Y(I1,I2,I3)~0. Тогда из условия экстремума S (D1(j1)=0) получим:

Y111**2=(-2*C20+1)/(3*C40) или Y111=0.

----Определяя, характеристические корни LX для матрицы вторых производных S-функции D2(I1,I2) получим:
LX(1)=- 2*(-C20 + 1).
LX(2)=(-1).
LX(3)=2*C20 - 1.
LX(4)=0.
LX(5)=( 2*C20*C22 - 6*C40*C02 - C22)/(3*C40).
LX(6)=(-1).
LX(7)=( 2*C20*C22 - 4*C40*C02 + 2*C40 - C22)/(4*C40).
LX(8)=( 2*C20*C22 - 12*C40*C02 + 6*C40 - C22)/(12*C40);
из LX(1) следует C20<1, а из LX(3) => C20<1/2 ,из условия X111>0, (т.к. X111=Y111**2) => C20<1/2 =>, т.к. LX(I1) =< 0 , то система с данным L=T-U имеет устойчивые решения в данном для следующих случаев:

----а) C02<1/2 . C22 >6*abs(C40)*(-2*C02+1)/(-2*C20+1).
----б) C02 >1/2. C22 >- 2*abs(C40)*(-2*C02+1)/(-2*C20+1).
----Следовательно: система с L имеет устойчивые решения не только для U с C20,C02>0 (точка минимума потенциальной энергии), но и с C20>0, C02<0 седловая точка .
----Результаты расчетов были проверены путем численного и аналогового моделирования на гибридном комплексе.
----В тривиальном случае, когда все Y(I1,I2,I3)=0 из вида D2 следует, что для устойчивости полученных решений необходимо условие C20,C02>0, т.е. наличие точки минимума U при X(1)=X(2)=0.

    Литература:

  1. Широносов В.Г. ДАН СССР, 1990, т. 314, №.2, стр.316.
  2. Бонштедт А.В., Широносов В.Г. Письма в ЖТФ, 1989,т.15,с.89.